Question

3．已知-$\frac{π}{2}$＜x＜0，sinx+cosx=$\frac{1}{5}$．
（1）求sinx-cosx的值；
（2）求$\frac{3si{n}^{2}\frac{x}{2}-2sin\frac{x}{2}cos\frac{x}{2}+co{s}^{2}\frac{x}{2}}{tanx+tan（\frac{π}{2}-\frac{x}{2}）}$的值．

Answer 1

分析 （1）已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系化简，整理求出2sinxcosx的值，再利用完全平方公式求出sinx-cosx的值即可；
（2）由sinx+cosx与sinx-cosx的值，联立求出sinx与cosx的值，进而求出sin$\frac{x}{2}$，cos$\frac{x}{2}$及tan$\frac{x}{2}$的值，原式化简后代入计算即可求出值．

解答 解：（1）∵-$\frac{π}{2}$＜x＜0，sinx+cosx=$\frac{1}{5}$①，
∴两边平方得：（sinx+cosx）²=1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，即2sinxcosx=-$\frac{24}{25}$，
∴sinx＜0，cosx＞0，即sinx-cosx＜0，
∵（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=$\frac{49}{25}$，
∴sinx-cosx=-$\frac{7}{5}$②；
（2）联立①②解得：sinx=-$\frac{3}{5}$，cosx=$\frac{4}{5}$，
∴1-2sin²$\frac{x}{2}$=$\frac{4}{5}$，即sin²$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{10}$，
∵-$\frac{π}{4}$＜$\frac{x}{2}$＜0，∴sin$\frac{x}{2}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，cos$\frac{x}{2}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，tan$\frac{x}{2}$=$\frac{1}{3}$，
则原式=$\frac{2si{n}^{2}\frac{x}{2}-sinx}{\frac{sinx}{cosx}+\frac{cos\frac{x}{2}}{sin\frac{x}{2}}}$=$\frac{\frac{1}{5}+\frac{3}{5}}{-\frac{3}{4}+3}$=$\frac{\frac{4}{5}}{\frac{9}{4}}$=$\frac{16}{45}$．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．