Question

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且acosC+$\frac{1}{2}$c=b．
（1）求角A的大小
（2）若a=$\sqrt{13}$，b=4，求边c的大小．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化简已知等式可得$\frac{1}{2}$sinC=cosAsinC，结合sinC≠0，可得cosA，结合范围0＜A＜π，即可求得A的值．
（2）由已知及余弦定理可得c²-4c+3=0，从而可解得c的值．

解答 解：（1）利用正弦定理，由acosC+$\frac{1}{2}$c=b，得sinAcosC+$\frac{1}{2}$sinC=sinB．…（2分）
因为sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，所以$\frac{1}{2}$sinC=cosAsinC．…（4分）
因为sinC≠0，所以cosA=$\frac{1}{2}$．…（6分）
因为0＜A＜π，所以：A=$\frac{π}{3}$…（8分）
（2）由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，因为a=$\sqrt{13}$，b=4，A=$\frac{π}{3}$，
所以13=16+c²-2×$4×c×\frac{1}{2}$，即c²-4c+3=0，…（12分）
解得c=1或c=3．…（14分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查．