Question

8．已知函数f（x）=e^x-2x+2（x∈R）．
（1）求f（x）的最小值；
（2）求证：x＞0时，e^x＞x²-2x+1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求得单调区间，即可得到极小值，也为最小值；
（2）构造函数g（x）=e^x-x²+2x-1，通过导数求出g（x）的单调性，即可得到证明．

解答 解：（1）由f（x）=e^x-2x+2（x∈R）．得f′（x）=e^x-2，
令f′（x）=e^x-2=0得，x=ln2，
当x＞ln2时，f′（x）＞0；当x＜ln2时，f′（x）＜0，
故当x=ln2时，f（x）有极小值也是最小值为f（ln2）=2（2-ln2）；
（2）证明：设．（x＞0），则g′（x）=e^x-2x+2，
由（1）知g′（x）=e^x-2x+2有最小值g′（ln2）=2（2-ln2），
于是对于x＞0，都有g′（x）＞0，所以g（x）在（0，+∞）上递增，
而g（0）=0，从而对任意x∈（0，+∞），g（x）＞0，
即x＞0时，e^x＞x²-2x+1．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查不等式的证明，注意构造函数，运用单调性证明，属于中档题．