Question

4．已知函数f（x）=x|x|+px+q（x∈R），给出下列四个命题：
①f（x）为奇函数的充要条件是q=0；
②f（x）的图象关于点（0，q）对称；
③当p=0时，方程f（x）=0的解集一定非空；
④当p≥0或p²≤4q或p²≤-4q时，方程f（x）=0的解的个数一定不超过2．
其中正确命题序号为①②③④．

Answer 1

分析 ①q=0时，可由奇函数的定义判断正确，反过来也成立．②由①可知q=0时，f（x）图象关于原点对称，故f（x）=x|x|+px+q的图象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位，故关于（0，q）对称正确；③当p=0时，函数f（x）=x|x|（x∈R）是增函数，方程f（x）=0的解集一定非空；④中

解答 解：①q=0时，f（-x）=-x|x|-bx=-f（x），故f（x）是奇函数，反之也成立，故①正确；
②由①可知q=0时，f（x）图象关于原点对称，f（x）=x|x|+px+q的图象由y=x|x|+px向上或向下平移|q|个单位，故关于（0，q）对称，故②正确；
对于③当p=0时，函数f（x）是增函数，函数的值域为R，方程f（x）=0的解集一定非空，故③正确；
对于④，方程x|x|+px+q=0包含两个方程：当x≥0时为x²+px+q=0（i）； 当x≤0时为-x²+px+q=0，也就是x²-px-q=0（ii）．
（i）的判别式是△₁=p²-4q，如果△₁＞0，且x₁+x₂=-p＞0，x₁x₂=q＞0时，则有两个正根，即方程（i）有两正根的充要条件是：p²-4q＞0，p＜0，q＞0（1）； 
（ii）的判别式是△₂=p²+4q，如果△₂＞0，且x₁+x₂=p＜0，x₁x₂=-q＞0时，则有两个负根；即方程（ii）有两负根的充要条件是：p²+4q＞0，p＜0，q＜0（2）； 
条件（1）和（2）不能同时满足，故方程f（x）=0的解的个数不可能为四个，
（iii）如果△₁＞0，且x₁+x₂=-p＞0，x₁x₂=q=0时，则有一个正根，一个零根，即方程（i）有一正根一零点的充要条件是：p²-4q＞0，p＜0，q=0（3），
（iiii）如果△₂＞0，且x₁+x₂=p＜0，x₁x₂=-q=0时，则有一个负根，一个零根；即方程（ii）有有一个负根，一个零根的充要条件是：p²+4q＞0，p＜0，q=0（3）； 
故条件（3）和条件（4）同时满足时，方程f（x）=0的解的个数为三个，
故当p≥0或p²≤4q或p²≤-4q时，方程f（x）=0的解的个数一定不超过2．故④正确． 
故答案为：①②③④．

点评 本题考查含有绝对值的函数的奇偶性、对称性和零点问题，综合性强，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．