Question

10．若存在x₀∈R，使ax₀²+2x₀+a＜0，则实数a的取值范围是a＜1．

Answer 1

分析 写出命题：存在x₀∈R，使a${{x}_{0}}^{2}$+2x₀+a＜0的否定，求出对命题的否定成立时a的范围，
再求该命题成立时a的取值范围．

解答 解：命题：存在x₀∈R，使a${{x}_{0}}^{2}$+2x₀+a＜0的否定为：
对任意x∈R，都有ax²+2x+a≥0恒成立；
先求对任意x∈R，都有ax²+2x+a≥0恒成立时a的范围：
①当a=0时，该不等式化为2x≥0，即x≥0，不合题意；
②当a≠0时，有$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△{=2}^{2}-{4a}^{2}≤0}\end{array}\right.$，解得a≥1，
由①②得a的范围是：a≥1；
所以，存在x₀∈R，使a${{x}_{0}}^{2}$+2x₀+a＜0时a的取值范围是：a＜1．
故答案为：a＜1．

点评 本题考查了命题与命题的否定的应用问题，也考查了一元二次不等式的恒成立问题，是基础题目．