Question

8．已知a＞0，b＞0，比较a^ab^b和（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$的大小关系．

Answer 1

分析 作商：$\frac{{a}^{a}{b}^{b}}{（ab）^{\frac{a+b}{2}}}$=$（\frac{a}{b}）^{\frac{a-b}{2}}$．对a，b大小关系分类讨论，利用指数函数的单调性即可得出．

解答 解：$\frac{{a}^{a}{b}^{b}}{（ab）^{\frac{a+b}{2}}}$=$（\frac{a}{b}）^{\frac{a-b}{2}}$．
当a＞b＞0时，$\frac{a}{b}＞1$，$\frac{a-b}{2}$＞0，∴$（\frac{a}{b}）^{\frac{a-b}{2}}$＞1，∴a^ab^b＞（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$；
当a=b＞0时，$\frac{a}{b}$=1，a^ab^b=（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$；
当b＞a＞0时，0＜$\frac{a}{b}$＜1，$\frac{a-b}{2}$＜0，∴$（\frac{a}{b}）^{\frac{a-b}{2}}$＞1，∴a^ab^b＞（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$．
综上可得：a^ab^b≥（ab）${\;}^{\frac{a+b}{2}}$，当且仅当a=b＞0取等号．

点评 本题考查了“作商法”、分类讨论、指数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．