Question

5．已知函数f（x）=e^x+ax，g（x）=ax-lnx，其中a＜0，e为自然对数的底数．
（Ⅰ）求f（x）在x∈[0，2]上的最小值；
（Ⅱ）试探究能否存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性？若能存在，说明区间M的特点，并指出f（x）和g（x）在区间M上的单调性；若不能存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得极值点，对a讨论，当-1≤a＜0时，a≤-e²时，-e²＜a＜-1时，求得单调性，即可得到最小值；
（Ⅱ）求出g（x）的单调性和f（x）的极值点，对a讨论，（1）-1≤a＜0时，（2）若a＜-1时，讨论两函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，且 f′（x）=e^x+a．
令f′（x）=0，得x=ln（-a）．                                         
若ln（-a）≤0，即-1≤a＜0时，f′（x）≥0，f（x）在x∈[0，2]上为增函数，
∴f（x）_min=f（0）=1；                                               
若ln（-a）≥2，即a≤-e²时，f′（x）≤0，f（x）在x∈[0，2]上为减函数，
∴$f{（x）_{min}}=f（2）={e^2}+2a$；                                         
若0＜ln（-a）＜2，即-e²＜a＜-1时，由于x∈[0，ln（-a））时，f′（x）＜0；
x∈（ln（-a），2]时，f′（x）＞0，
所以f（x）_min=f（ln（-a））=aln（-a）-a，
综上可知f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1，-1≤a＜0}\\{{e}^{2}+2a，a≤-{e}^{2}}\\{aln（-a）-a，-{e}^{2}＜a＜-1}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）g（x）的定义域为（0，+∞），且 $g'（x）=a-\frac{1}{x}=\frac{ax-1}{x}$．
∵a＜0时，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减．            
令f′（x）=0，得x=ln（-a），
（1）-1≤a＜0时，ln（-a）≤0，在（ln（-a），+∞）上f′（x）＞0，
∴f（x）单调递增，由于g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以不能存在区间M，
使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同单调；                                              
（2）若a＜-1时，ln（-a）＞0，在（-∞，ln（-a））上f′（x）＜0，f（x）单调递减；
在（ln（-a），+∞）上f′（x）＞0，f（x）单调递增．由于g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴存在区间M⊆（0，ln（-a）]，使得f（x）和g（x）在区间M上均为减函数．    
综上，当-1≤a≤0时，不能存在区间M，使得f（x）和g（x）在区间M上具有相同的单调性；
当a＜-1时，存在区间M⊆（0，ln（-a）]，使得f（x）和g（x）在区间M上均为减函数．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和函数的单调性的运用，属于中档题．