Question

13．如图，互相垂直的两条公路AM，AN旁有一矩形花园ABCD，现欲将其扩建成一个
更大的三角形花园APQ，要求P在射线AM上，Q在射线AN上，且PQ过点C，
其中AB=30m，AD=20m，AP的长不小于40m且不大于90m．记三角形花园APQ
的面积为S（m²）．
（1）设DQ=x（m），试用x表示AP，并求x的取值范围；
（2）当DQ的长度是多少时，S最小？最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）由于DC∥AB得出△QDC∽△DAP，即可表示AP，从而可求x的取值范围；
（2）利用三角形的面积公式表示出面积，再利用基本不等式求最值，注意等号何时取得．

解答 解：（1）设DQ=x米（x＞0），则AQ=x+20，
∵$\frac{DQ}{DC}=\frac{AQ}{AP}$，∴$\frac{x}{30}=\frac{x+20}{AP}$，∴AP=$\frac{30（x+20）}{x}$，
∵40≤AP≤90，
∴10≤x≤60；
（2）S=$\frac{1}{2}$×AP×AQ=$\frac{15（x+20）^{2}}{x}$=15（x+$\frac{400}{x}$+40）≥1200，
当且仅当x+$\frac{400}{x}$，即x=20时取等号，S的最小值是1200m²．

点评 本题考查将实际问题转化成数学问题的能力，考查基本不等式的运用，属于中档题．