Question

4．已知关于变量x的函数f（x）=ln（x²-x+m）-$\sqrt{x-m}$，其定义域为A，若2∈A，则实数m的取值范围是-2＜m≤2．

Answer 1

分析 讨论m的取值，求出f（x）的定义域A，由2∈A，求出m的取值范围．

解答 解：关于变量x的函数f（x）=ln（x²-x+m）-$\sqrt{x-m}$，其定义域为A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x+m＞0…①}\\{x-m≥0…②}\end{array}\right.$
对于①，令△=1-4m=0，解得m=$\frac{1}{4}$；
∴当m＞$\frac{1}{4}$时，△＜0，①的解集为R，
∴A={x|x≥m}；
又2∈A，∴$\frac{1}{4}$＜m≤2；
当m≤$\frac{1}{4}$时，△≥0，①的解集为{x|x＜$\frac{1-\sqrt{1-4m}}{2}$，或x＞$\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}$}；
∴A={x|x＞$\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}$}，
∴$\frac{1+\sqrt{1-4m}}{2}$＜2，
解得m＞-2，
∴-2＜m≤$\frac{1}{4}$；
综上，实数m的取值范围是-2＜m≤2．
故答案为：-2＜m≤2．

点评 本题考查了求函数的定义域的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．