Question

9．在△ABC中，锐角B所对的边长b=3，△ABC的面积为6，外接圆半径R=$\frac{5}{2}$，则△ABC的周长为12．

Answer 1

分析 根据正弦定理，由b和外接圆半径R的值即可求出sinB的值，根据三角形的面积公式得到a与c的关系式，根据大边对大角判断B是锐角，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理表示出cosB，也得到关于a与c的关系式，利用完全平方公式化简后即可求出a+c的值，进而求出三角形ABC的周长．

解答 解：由正弦定理得，$\frac{b}{sinB}=2R$，
∴sinB=$\frac{b}{2R}$=$\frac{3}{5}$．
又∵△ABC的面积为6，
∴S=$\frac{1}{2}$acsinB=6．
∴ac=20＞b²．
∴a，c有一个比b大，
即∠B是锐角，
∴cosB=$\sqrt{1-si{n}^{2}B}$=$\frac{4}{5}$，
由余弦定理得，
cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{4}{5}$，
∴a²+c²=41，
∴（a+c）²=81，
∴a+c=9，
∴△ABC的周长为a+b+c=9+3=12．
故答案为：12．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式和大边对大角的应用，属于难题．