Question

12．已知函数f（x）=lnx，g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²．
（1）求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程；
（2）若g′（x）在[1，+∞]上单调递增，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，确定切线的斜率，尽快求函数f（x）在A（1，0）处的切线方程；
（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴f′（1）=1，
故切线方程为y=x-1；
（2）∵g（x）=（x-a）²+（lnx-a）²，
∴g′（x）=2（x-$\frac{a}{x}$+$\frac{lnx}{x}$-a），
令F（x）=x-$\frac{a}{x}$+$\frac{lnx}{x}$-a，则y=F（x）在[1，+∞）上单调递增．
F′（x）=$\frac{{x}^{2}-lnx+a+1}{{x}^{2}}$，则当x≥1时，x²-lnx+a+1≥0恒成立，
即当x≥1时，a≥-x²+lnx-1恒成立．
令G（x）=-x²+lnx-1，则当x≥1时，G′（x）=$\frac{1-2{x}^{2}}{x}$＜0，
故G（x）=-x²+lnx-1在[1，+∞）上单调递减，从而G（x）_max=G（1）=-2，
故a≥-2．

点评 本题主要考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义、函数单调性与最值，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键，属于中档题．