Question

2．过点M（4，3）作斜率为2的直线与双曲线E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）相交于点A、B两点，若点M是线段AB的中点，则双曲线E的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• C． $\sqrt{5}$
• D． $\frac{\sqrt{15}}{3}$

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据AB的中点M的坐标，表示出斜率，从而得到关于a、b的关系式，再求离心率．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
∵点M（4，3）是AB的中点，
∴x₁+x₂=8，y₁+y₂=6，
∵直线l的斜率为2，∴$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=2，
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入双曲线方程，
相减整理可得①-②得a²=$\frac{2}{3}$b²，
∴c²=$\frac{5}{3}$a²，
∴e=$\frac{\sqrt{15}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了双曲线的简单性质，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l的斜率．