Question

17．已知x=3是函数f（x）=ax³-$\frac{3}{2}$x²+2的一个极值点
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若不等式b＜f（x），x∈[2，4]时恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，由题意可得f′（3）=0，可得a，再令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间；
（Ⅱ）求出f（x）在[2，4]的最小值，由恒成立思想可得b＜f（x）_min，即可得到b的范围．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=ax³-$\frac{3}{2}$x²+2，
则f′（x）=3ax²-3x，
又x=3是函数y=f（x）的一个极值点，
f′（3）=0，即有27a-9=0，
解得a=$\frac{1}{3}$，
此时f′（x）=x²-3x=x（x-3），
由f′（x）＞0得x＜0或x＞3，f′（x）＜0得0＜x＜3，
故f（x）的单增区间为（-∞，0）（3，+∞），单减区间为（0，3）；
（Ⅱ）由（1）知：f（x）在[2，3]上为减函数，在[3，4]上为增函数，
则当x∈[2∈4]时，f（x）_min=f（3）=-$\frac{5}{2}$，
由b＜f（x），x∈[2，4]恒成立，
即b＜f（x）_min，
故b＜-$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，同时考查函数的单调性的运用和不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，属于中档题．