Question

8．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面A₁B₁C₁，A₁B₁⊥B₁C₁且A₁B₁=BB₁=B₁C₁，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B⊥AC₁
（Ⅱ）在直线CC₁上是否存在一点E，使得A₁E⊥平面A₁BD，若存在，试确定E点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接AB₁，利用三棱柱的性质容易得到B₁C₁⊥BB₁，结合已知，根据线面垂直的判定定理得到B₁C₁⊥平面A₁B₁BA，进一步由线面垂直的判定定理和性质定理得到所证；
（Ⅱ）存在点E在CC₁的延长线上且CE=2CC₁时，A₁E⊥平面A₁BD．利用线面垂直的判定定理和性质定理矩形证明．

解答 （Ⅰ）证明：连接AB₁
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁
∴B₁C₁⊥BB₁
∵B₁C₁⊥A₁B₁且A₁B₁∩BB₁=B₁
∴B₁C₁⊥平面A₁B₁BA
∴A₁B⊥B₁C₁          …（3分）
又∵A₁B⊥AB₁且AB₁∩B₁C₁=B₁
∴A₁B⊥平面AB₁C₁    …（5分）
∴A₁B⊥AC₁         …（6分）
（Ⅱ）存在点E在CC₁的延长线上且CE=2CC₁时，A₁E⊥平面A₁BD．…（7分）
设AB=a，CE=2a，∴${A}_{1}{C}_{1}=\sqrt{2}a$，
∴${A}_{1}E=\sqrt{3}a$，${A}_{1}D=\sqrt{\frac{3}{2}}a$，DE=$\sqrt{\frac{9}{2}}a$，
∴${A}_{1}{E}^{2}+{A}_{1}{D}^{2}=D{E}^{2}$，∴A₁E⊥A₁D…（9分）
∵BD⊥AC，BD⊥CC₁，AC∩CC₁=C
∴BD⊥平面ACC₁A₁     …（10分）
又A₁E?平面ACC₁A₁
∴A₁E⊥BD
又BD∩A₁D=D
∴A₁E⊥平面A₁BD   …（12分）

点评 本题邑三棱柱为载体，考查了空间线面垂直的判定定理和性质定理的运用．