Question

19．已知函数f（x）=3x²+bx+c，不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（0，+∞）．
（Ⅰ） 求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ） 已知函数g（x）=f（x）+mx-2在（2，+∞）上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意判断出：-2和0是方程3x²+bx+c=0的两个实根，代入列出方程，求出b和c的值；
（Ⅱ）由（1）求出g（x）的解析式，再求出对称轴方程，根据条件和二次函数的单调性，列出不等式，求出m的范围

解答 解：（Ⅰ）∵不等式f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（0，+∞）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=0}\\{f（-2）=0}\end{array}\right.$，…（2分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{c=0}\end{array}\right.$，
∴f（x）=3x²+6x；…（5分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ） 知，f（x）=3x²+6x，
∵g（x）=f（x）+mx-2，
∴g（x）=3x²+6x+mx-2，
=3[x+（1+$\frac{m}{6}$）]²-2-3×+（1+$\frac{m}{6}$）²，（9分）
∵函数g（x）在（2，+∞）上单调递增，
∴-（1+$\frac{m}{6}$）≤2，
∴m≥-18；…（12分）
∴实数m的取值范围为m≥-18…（13分）

点评 本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求解析式，二次方程与不等式的关系，属于中档题．