Question

9．（1）用分析法证明：当a＞2时，$\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2}＜2\sqrt{a}$；
（2）设a，b是两个不相等的正数，若$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$，用综合法证明：a+b＞4．

Answer 1

分析 （1）将不等式两边平方整理后，可得$\sqrt{{a}^{2}-4}$＜a，再平方比较a²-4与a²的大小可得答案．
（2）利用“1”的代换，结合基本不等式可证得a+b＞4．

解答 解：（1）要证$\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2}＜2\sqrt{a}$
只要证2a+2$\sqrt{{a}^{2}-4}$＜4a，
只要证$\sqrt{{a}^{2}-4}$＜a，
由于a＞2，
只要证a²-4＜a²，
最后一个不等式成立，所以$\sqrt{a+2}+\sqrt{a-2}＜2\sqrt{a}$； …（7分）
（2）因为a，b是两个不相等的正数，
所以$a+b=（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}{b}）$=$1+1+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$＞2+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=4，
所以a+b＞4．…（14分）

点评 本题考查的知识点是不等式的证明，其中（1）考查的知识点是分析法证明，（2）考查的知识点是基本不等式．