Question

18．已知函数f（x）=ax³+3x²-12x+1（a∈R），且当△x→0时，$\frac{f（1+△x）-f（1）}{△x}$→0．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[-3，3]的最大值与最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f′（1）=0，求出导数，解方程可得a=2，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；
（2）由（1）可得x=-2取得极大值，x=1处取得极小值，求得f（-3）和f（3），即可得到最值．

解答 解：（1）当△x→0时，$\frac{f（1+△x）-f（1）}{△x}$→0，即f′（1）=0，
又f′（x）=3ax²+6x-12，则3a+6-12=0，故a=2；
所以f′（x）=6x²+6x-12，
令f′（x）＞0，解得x＜-2或x＞1，
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，-2）和（1，+∞）；
令f′（x）＜0，解得-2＜x＜1，所以函数f（x）的单调减区间为（-2，1）；
（2）f（x）=2x³+3x²-12x+1，
由（1）列表如下：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2，1）	1	（1，3）	3
f′（x）		+	0	-	0	+
f（x）	10	递增	21	递减	-6	递增	46

从上表可知，函数f（x）在x=-2处取得极大值，在x=1时取得极小值，
又因为f（-3）=10＞-6，f（3）=46＞21，
所以函数f（x）在区间[-3，3]上的最大值是46，最小值是-6．

点评 本题考查导数与极限的关系，导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．