Question

6．设a=${∫}_{0}^{π}$（cosx-sinx）dx，则二项式（x²+$\frac{a}{x}$）⁶展开式中不含x⁶项的系数和是161．

Answer 1

分析 求定积分求得a，再根据二项式展开式的通项公式求得含x⁶项的系数，从而求得展开式中不含x⁶项的系数和．

解答 解：由于a=${∫}_{0}^{π}$（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）${|}_{0}^{π}$=-1-1=-2，
∴（x²+$\frac{a}{x}$）⁶ =（x² -$\frac{2}{x}$）⁶ 的通项公式为 T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-2）^r•x^12-2r，
令12-2r=6，求得r=3，故含x⁶项的系数为-${C}_{6}^{3}$×2³=-160．
由于所有项的系数和为（1-2）⁶=1，故不含x⁶项的系数和1+160=161，
故答案为：161．

点评 本题主要考查定积分、二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．