Question

7．在△ABC中，动点P满足$\overrightarrow{CA}$²=$\overrightarrow{CB}$²-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{CP}$，则动点P轨迹一定通过三角形ABC的外心（“外心”、“内心”、“重心”或“垂心”）

Answer 1

分析 由条件：${\overrightarrow{CA}}^{2}={\overrightarrow{CB}}^{2}-2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$，通过移项及数量积的运算即可得到$（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）=2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$，取AB中点M，从而可得到$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PM}=0$，这便说明AB⊥PM，从而P
便在AB的中垂线上，从而得出P点轨迹通过△ABC的外心．

解答 解：∵${\overrightarrow{CA}}^{2}={\overrightarrow{CB}}^{2}-2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$；
∴${\overrightarrow{CB}}^{2}-{\overrightarrow{CA}}^{2}=2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$；
∴$（\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}）•（\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}）=2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$；
取AB中点为M，则：$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}=2\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{AB}$；
∴$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CM}=2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CP}$；
∴$\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{CM}-\overrightarrow{CP}）=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{PM}=0$；
∴$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{PM}$；
即AB⊥PM；
又M是AB中点；
∴P在边AB的中垂线上；
∴P点轨迹一定通过三角形ABC的外心．
故答案为：外心．

点评 考查向量数量积的运算律，向量减法的几何意义，向量加法的平行四边形法则，向量垂直的充要条件，以及轨迹的概念，知道三角形的外心是三角形三边中垂线的交点．