Question

4．偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，在某次考试成绩统计中，某老师为了对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学偏差x	20	15	13	3	2	-5	-10	-18
物理偏差y	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	-0.5	-2.5	-3.5

（1）若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若该次考试该班数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩．
参考公式：$\widehat{b}=\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的数据利用最小二乘法．写出线性回归方程的系数和a的值，写出线性回归方程，注意运算过程中不要出错．
（2）求出物理偏差、数学偏差，利用线性回归方程，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，$\overline{x}$-$\frac{5}{2}$，$\overline{y}$=$\frac{9}{8}$
$\sum_{i=1}^8{{x_i}{y_i}}$=20×6.5+15×3.5+13×3.5+3×1.5+2×0.5+（-5）×（-0.5）+（-10）×（-2.5）+（-18）×（-3.5）=324
$\sum_{i=1}^8{x_i^2}$=202+152+132+32+22+（-5）²+（-10）²+（-18）²=1256．          …（4分）
所以b=$\frac{324-8×\frac{5}{2}×\frac{9}{8}}{1256-8×（\frac{5}{2}）^{2}}$=$\frac{1}{4}$，…（6分）
a=$\frac{9}{8}$-$\frac{1}{4}×\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$，…（7分）
故y关于x的线性回归方程：y=$\frac{1}{4}$x+$\frac{1}{2}$．                …（9分）
（2）由题意，设该同学的物理成绩为w，则物理偏差为：w-91.5
而数学偏差为128-120=8，所以w-91.5=$\frac{1}{4}$×8+$\frac{1}{2}$，解得w=94，
所以，可以预测这位同学的物理成绩为9（4分）．                  …（12分）

点评 本题考查线性回归方程，是一个基础题，解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错．