Question

3．已知曲线f（x）=-x³-2x²+2ax+8在（1，f（1））处切线与直线x-3y+1=0垂直．
（Ⅰ）求f（x）解析式；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间、极值并画出y=f（x）的大致图象．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可得到a=2，进而得到f（x）的解析式；
（Ⅱ）求出函数的导数，令导数大于0，可得增区间，令导数小于0，可得减区间，进而得到极值和函数的图象．

解答 解：（Ⅰ）对f（x）求导f′（x）=-3x²-4x+2a，
由题意f′（1）=-3-4+2a=-3，∴a=2，
∴f（x）=-x³-2x²+4x+8．
（Ⅱ）f′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2），
由f′（x）≥0得$-2≤x≤\frac{2}{3}$，由f′（x）≤0得$x≥\frac{2}{3}$或x≤-2，
∴单调增区间为$[{-2，\frac{2}{3}}]$，单减区间为（-∞，-2），$（\frac{2}{3}，+∞）$，
f（x）极小值=f（-2）=0f（x）极大值=$f（\frac{2}{3}）=9\frac{13}{27}$，
大致图象如右图．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，主要考查导数的几何意义，函数的单调性的判断，属于中档题．