Question

15．已知a＞0，x，y满足约束条件$\left\{{\begin{array}{l}{x≥1}\\{x+y-3≤0}\\{y≥a（x-3）}\end{array}}\right.$，若z=2x+y的最小值为$\frac{1}{2}$，则a=$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即先确定z的最优解，然后确定a的值即可．

解答 解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=-2x+z，
平移直线y=-2x+z，由图象可知当直线y=-2x+z经过点A时，直线y=-2x+z的截距最小，此时z最小．
即2x+y=$\frac{1}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
即C（1，-$\frac{3}{2}$），
∵点A也在直线y=a（x-3）上，
∴-$\frac{3}{2}$=-2a，
解得a=$\frac{3}{4}$．
故答案为：$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．