Question

6．如图，平行四边形的顶点A位于双曲线的中心，顶点B位于该双曲线的右焦点，∠ABC为60°，顶点D恰在该双曲线的左支上，若$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，则此双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{7}+\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 由题意，设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），则D（-c，$\sqrt{3}$c），代入$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，确定a，c的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答 解：由题意，设双曲线方程为$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0），则D（-c，$\sqrt{3}$c），
代入$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{3{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴c²b²-3a²c²=a²b²，
∴c²（c²-a²）-3a²c²=a²（c²-a²），
∴e⁴-5e²+1=0，
∴e²=$\frac{5+\sqrt{21}}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{3}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查双曲线的性质，考查学生的计算能力，确定a，c的关系是关键．