Question

16．在棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点E为直线DC的中点，则直线A₁D与C₁E所成角的余弦值是多少？

Answer 1

分析 如图所示，建立空间直角坐标系．利用向量夹角公式即可得出．

解答 解：如图所示，
建立空间直角坐标系．
D（0，0，0），A₁（1，0，1），E（0，$\frac{1}{2}$，0），C₁（0，1，1）．
∴$\overrightarrow{{A}_{1}D}$=（-1，0，-1），$\overrightarrow{{C}_{1}E}$=$（0，-\frac{1}{2}，-1）$．
∴$cos＜\overrightarrow{{A}_{1}D}，\overrightarrow{{C}_{1}E}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}D}•\overrightarrow{{C}_{1}E}}{|\overrightarrow{{A}_{1}D}||\overrightarrow{{C}_{1}E}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{4}+1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴直线A₁D与C₁E所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

点评 本题考查了利用向量夹角公式求异面直线所成的夹角方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．