Question

11．已知数列{a_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，S_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）求a_n及S_n；
（2）记${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n+1}是首项为2、公比为2的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，
∴a_n=2ⁿ-1．
∴S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n=2ⁿ⁺¹-2-n．
（2）${b_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}-1）（{2}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$，
∴数列{b_n}的前n项和T_n=$（\frac{1}{2-1}-\frac{1}{{2}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}-1}-\frac{1}{{2}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}-1}-\frac{1}{{2}^{n+1}-1}）$
=1-$\frac{1}{{2}^{n+1}-1}$
=$\frac{{2}^{n+1}-2}{{2}^{n+1}-1}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．