Question

17．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2）恒成立，且当x∈[0，2）时，f（x）=-2x²+4x，设f（x）在[2n-2，2n）上的最大值为a_n（n∈N^*），且{a_n}的前n项和为S_n，若不等式$\frac{t}{2n}≤{S_n}$对任意n∈N^*恒成立，则t的取值范围是（　　）

• A． t≤5
• B． t≤4
• C． t≤3
• D． t≤2

Answer 1

分析 由题意可知，函数图象向右平移2个单位，只是改变函数的最大值，求出a₁，公比q，推出a_n，然后求出S_n，判断数列n（4-2^2-n）为递增数列，结合不等式恒成立思想，即可得到t的范围．

解答 解：因为f（x）=2f（x+2），所以f（x+2）=$\frac{1}{2}$f（x），
就是函数图象向右平移2个单位，最大值变为原来的$\frac{1}{2}$，a₁=f（1）=2，公比q=$\frac{1}{2}$，
所以a_n=2（$\frac{1}{2}$）^n-1，
即有S_n=2•$\frac{1-（\frac{1}{2}）^{n}}{1-\frac{1}{2}}$=4-2^2-n，
不等式$\frac{t}{2n}≤{S_n}$对任意n∈N^*恒成立，
即为$\frac{1}{2}$t≤nS_n，
由n（4-2^2-n）-（n-1）（4-2^3-n）=4+（n-2）2^2-n，
由n≥2，可得n（4-2^2-n）＞（n-1）（4-2^3-n），
{n（4-2^2-n）}为递增数列，则n=1为最小，且为2．
即有t≤4．
故选：B．

点评 本题是中档题，考查函数与数列的交汇题目，注意函数的图象的平移，改变的是函数的最大值，就是数列的公比，考查不等式恒成立思想和计算能力，发现问题解决问题的能力．