Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\sqrt{3}$sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（cosx，cosx）．函数f（x）=$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-1$．
（1）求f（x）的对称轴．
（2）当$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$时，求f（x）的最大值及对应的x值．

Answer 1

分析 （1）利用数量积公式求出f（x），然后利用三角函数的倍角公式化简，令复合角为k$π+\frac{π}{2}$，求出x；
（2）利用（1），判断复合角的范围，结合正弦函数的有界性求最值．

解答 解：（1）由已知得到f（x）=$2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-1$=2（$\sqrt{3}$sinxcosx+cos²x）-1=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x=$2sin（2x+\frac{π}{6}）$….4
令2x+$\frac{π}{6}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得$f（x）的对称轴为x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，k∈z$．…7
（2）由（1）得$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$
∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[{\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}}]$，…9
∴当$2x+\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$时，即$x=\frac{π}{6}$时f（x）的最大值为2．…12

点评 本题考查了平面向量的数量积以及三角函数的化简和性质；正确化简三角函数式是解答的关键．