Question

9．设直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），直线l与曲线C₁交于A，B两点，则|AB|=（　　）

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），利用cos²θ+sin²θ=1即可化为直角坐标方程．直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}$=0．求出圆心C₁（0，0）到直线l的距离d，利用|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$即可得出．

解答 解：由曲线C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数），化为x²+y²=1，

直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），消去参数化为y=$\sqrt{3}$（x-1），即$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}$=0．
∴圆心C₁（0，0）到直线l的距离d=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{（\sqrt{3}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}-{d}^{2}}$=$2\sqrt{1-（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=1．
故选：B．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程、直线与圆的相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．