Question

12．若函数f（x）满足$\frac{f'（x）-f（x）}{e^x}$=2x，f（0）=1，则当x＞0时，$\frac{{f'{{（x）}^{\;}}}}{f（x）}$的取值范围是（1，2]．

Answer 1

分析 构造函数，结合条件求出函数f（x）的解析式，结合分式函数的性质利用基本不等式法进行求解即可．

解答 解：设h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
则h′（x）=$\frac{f'（x）-f（x）}{e^x}$=2x，
即h（x）=x²+c，
即f（0）=1，
∴h（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1=0+c，则c=1，
则h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=x²+1，
则f（x）=e^x（x²+1），
则f′（x）=e^x（x²+1）+e^x（2x）=e^x（x²+2x+1），
则$\frac{{f'{{（x）}^{\;}}}}{f（x）}$=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}+2x+1）}{{e}^{x}（{x}^{2}+1）}$=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$=1+$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$
当x＞0时，x+$\frac{1}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，
则0＜$\frac{1}{x+\frac{1}{x}}$≤$\frac{1}{2}$，
则0＜$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤1，
则1＜1+$\frac{2}{x+\frac{1}{x}}$≤2，
即$\frac{{f'{{（x）}^{\;}}}}{f（x）}$的取值范围是（1，2]，
故答案为：（1，2]．

点评 本题主要考查函数值域的求解，根据条件利用构造法求出函数的解析式，结合分式函数的性质是解决本题的关键．