Question

7．五面体ABC-DEF中，面BCFE是梯形，BC∥EF，面ABED⊥面BCFE，且AB⊥BE，DE⊥BE，AG⊥DE于G，若BE=BC=CF=2，EF=ED=4．
（Ⅰ）求证：G是DE中点；
（Ⅱ）求二面角A-CE-F的平面角的余弦．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延长EB，FC交于M，可得 M∈DA，由条件，易知四边形ABEG是矩形，所以$\frac{GE}{DE}=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$，即G是DE中点
（Ⅱ）作BE⊥EF于E，以$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$分别为x，y，z轴构建空间直角坐标系，
所以E（$\sqrt{3}$，-1，0），A（0，0，2），C（O，2，O），利用向量法求解

解答 解：（Ⅰ）证明：延长EB，FC交于M    因为M∈EB，所以M∈面AEBD  M∈CF，所以M∈面CFDA
因为面AEBD与面CFDA交于DA    所以M∈DA
因为AB∥DE，BC∥EF  所以$\frac{AB}{DE}=\frac{MB}{ME}=\frac{BC}{EF}=\frac{1}{2}$
由条件，易知四边形ABEG是矩形，所以$\frac{GE}{DE}=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$
即G是DE中点…（6分）
（Ⅱ）作BE⊥EF于E，以$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$分别为x，y，z轴构建空间直角坐标系，
所以E（$\sqrt{3}$，-1，0），A（0，0，2），C（O，2，O），令面AEC的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
所以$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{n}$=0；$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{n}$=0，易得$\overrightarrow{n}$的一个值为（$\sqrt{3}$，1，1），
因为AB垂直面BEFC，所以可令面EFC法向量为$\overrightarrow{v}$=（0，0，1）
所以cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{v}＞$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
所以二面角A-EC-F的余弦值为 $-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查了空间线线位置关系，向量法求空间角，属于中档题．