Question

19．已知函数f（x）=x-e^x（e为自然对数的底数），g（x）=mx+1，（m∈R），若对于任意的x₁∈[-1，2]，总存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁） 成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，-e]∪[e，+∞﹚
• B． [-e，e]
• C． ﹙-∞，-2-$\frac{1}{e}$]∪[-2+$\frac{1}{e}$，+∞﹚
• D． [-2-$\frac{1}{e}$，-2+$\frac{1}{e}$]

Answer 1

分析 利用导数求出函数f（x）在[-1，1]上的值域，再分类求出g（x）在[-1，1]上的值域，把对于任意的x₁∈[-1，1]，总存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁） 成立转化为两集合值域间的关系求解．

解答 解：由f（x）=x-e^x，得f′（x）=1-e^x，
当x∈[-1，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，
∴f（x）在[-1，0）上为增函数，在（0，1]上为减函数，
∵f（-1）=-1-$\frac{1}{e}$，f（0）=-1，f（2）=1-e．
∴f（x）在[-1，1]上的值域为[1-e，-1]；
当m＞0时，g（x）=mx+1在[-1，1]上为增函数，值域为[1-m，1+m]，
要使对于任意的x₁∈[-1，1]，总存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁） 成立，
则[1-e，-1]⊆[1-m，1+m]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-m≤1-e}\\{1+m≥-1}\end{array}\right.$，解得m≥e；
当m=0时，g（x）的值域为{1}，不合题意；
当m＜0时，g（x）=mx+1在[-1，1]上为减函数，值域为[1+m，1-m]，
对于任意的x₁∈[-1，1]，总存在x₀∈[-1，1]，使得g（x₀）=f（x₁） 成立，
则[1-e，-1]⊆[1+m，1-m]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1+m≤1-e}\\{1-m≥-1}\end{array}\right.$，解得m≤-e．
综上，实数m的取值范围为（-∞，-e]∪[e，+∞﹚．
故选：A．

点评 本题考查考查了问题，训练了利用导数研究函数的最值，考查数学转化思想方法，是中档题．