Question

17．设定义在R上的函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{lg|{x-1}|}|，x≠1\\ 0，x=1\end{array}\right.$，则关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是为c=0且b＜0．

Answer 1

分析 画出函数f（x）的图象，把关于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有7个不同实数解转化为f（x）有一0根和一正根，可得c=0且b＜0．

解答 解：作出函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|{lg|{x-1}|}|，x≠1\\ 0，x=1\end{array}\right.$的图象如图，
要使方程f²（x）+bf（x）+c=0有7解，
由图可知关于f（x）的方程f²（x）+bf（x）+c=0有一0根和一正根．
应有f（x）=0有3解，
则c=0，b＜0，
故答案为：c=0且b＜0．

点评 本题考查函数与方程的应用，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，是中档题．