Question

【题目】已知数列{an}，满足a1=1，a2=3，an+2=3an+1﹣2an ， bn=an+1﹣an ，
（1）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式；．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由an+2=3an+1﹣2an，变形为：an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），

又bn=an+1﹣an，∴bn+1=2bn，b1=a2﹣a1=2，

∴数列{bn}是等比数列，首项与公比都为2

（2）解：由（1）可得：bn=an+1﹣an=2n．

∴an+1=（an+1﹣an）+（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1

=2n+2n﹣1+…+2+1

= =2n+1﹣1．

∴an=2n﹣1，n=1时也成立

【解析】（1）由an+2=3an+1﹣2an ， 变形为：an+2﹣an+1=2（an+1﹣an），可得bn+1=2bn ， b1=a2﹣a1=2，即可证明．（2）由（1）可得：bn=an+1﹣an=2n ． 利用“累加求和”方法即可得出．
【考点精析】关于本题考查的数列的通项公式，需要了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．