Question

已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（1 ， 

3

）．
（1）求圆C的方程；
（2）已知点P是圆C上的动点，试求点P到直线x+y-4=0的距离的最小值；
（3）若直线l与圆C相切于点M，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质,圆的标准方程,圆的切线方程

专题：直线与圆

分析：（1）由题意可得圆C的半径r=|OM|的值，再根据原点为圆心，可得圆的方程．
（2）求出圆心到直线x+y-4=0的距离d，则点P到直线x+y-4=0的距离的最小值为d-r，计算可得结果．
（3）先求出直线l的斜率为

-1

KOM

的值，再由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果．

解答： 解：（1）由题意可得圆C的半径r=|OM|=

12+( 3 )2

=2，再根据原点为圆心，
可得圆的方程为 x²+y²=4．
（2）已知点P是圆C上的动点，圆心到直线x+y-4=0的距离d=

|0+0-4|

2

=2

2

，
故点P到直线x+y-4=0的距离的最小值为d-r=2

2

-2．
（3）若直线l与圆C相切于点M（1，

3

），故直线l的斜率为

-1

KOM

=

-1

3 -0 1-0

=-

3

3

，
由点斜式求得直线l的方程为 y-

3

=-

3

3

（x-1），即 x+

3

y-4=0．

点评：本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，用点斜式求直线的方程，属于基础题．