Question

已知等比数列{a_n}的首项a₁=

1

4

，公比q=

1

4

，设b_n+2=3log 

1

4

a_n（n∈N^*），数列{c_n}满足c_n=a_nb_n．
（Ⅰ）求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{c_n}的前n项和S_n；
（Ⅲ）对任意n∈N^*，c_n≤m²-m-

1

2

恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意知an=(

1

4

)n，所以bn+2=3log

1

4

an=3n，由此能求出b_n=3n-2．
（Ⅱ）由cn=(3n-2)•(

1

4

)n．利用错位相减法能求出数列{c_n}的前n项和S_n．
（3）由已知条件求出c_n取最大值

1

4

，所以对任意n∈N^*，c_n≤m²-m-

1

2

恒成立，等价国土m²-m-

1

2

≥

1

4

，由此能求出m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵等比数列{a_n}的首项a₁=

1

4

，公比q=

1

4

，
∴an=(

1

4

)n，
∴bn+2=3log

1

4

an=3n，
∴b_n=3n-2．
（Ⅱ）∵an=(

1

4

)n，b_n=3n-2，∴cn=(3n-2)•(

1

4

)n．
∴Sn=1×

1

4

+4×(

1

4

)2+…+(3n-2)×(

1

4

)n，

1

4

Sn=1×(

1

4

)2+4×(

1

4

)2+…+(3n-2)×(

1

4

)n+1，
两式相减，得

3

4

Sn=

1

4

+3×[(

1

4

)2+(

1

4

)3+…+(

1

4

)n]-（3n-2）×(

1

4

)n+1
=

1

4

+

3 16 (1- 1 4n-1 )

1- 1 4

-(3n-2)×(

1

4

)n+1
=

1

2

-

1

4n

-(3n-2)×(

1

4

)n+1，
∴Sn=

2

3

-

12n+8

3

×(

1

4

)n+1．
（3）∵C_n+1-C_n=（3n+1）×(

1

4

)n+1-(3n-2)×(

1

4

)n=9（1-n）×(

1

4

)n+1．
当n=1时，c2=c1=

1

4

，
n≥2时，c_n+1＜c_n，
∴c_n取最大值

1

4

，
∵对任意n∈N^*，c_n≤m²-m-

1

2

恒成立，
∴m²-m-

1

2

≥

1

4

，解得m≥

1+ 3

2

，或m≤

1+ 3

2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．