Question

已知p：函数y=log₂（x²+2x-3）有意义，q：1＜2^x＜4，r：（x-m+1）（x-m-1）＜0
（Ⅰ）若p且q是真命题，求x的取值范围；
（Ⅱ）若p是r的必要条件，求m的取值范围．

Answer 1

考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（Ⅰ）根据复合命题之间的关系，即可得到若p且q是真命题，则p，q为真命题，即可求x的取值范围；
（Ⅱ）根据p是r的必要条件，建立条件关系，即可求m的取值范围．

解答： 解：（I）若p为真，则x²+2x-3＞0，解得x＜-3或x＞1
若q为真，则1＜2^x＜4，解得0＜x＜2，
若“p且q”是真命题，
则

x＜-3或x＞1 0＜x＜2

，
解得1＜x＜2．
（II）若r为真，则（x-m+1）（x-m-1）＜0，
即 m-1＜x＜m+1，
因为p是r的必要条件
所有{x|m-1＜x＜m+1}⊆{x|x＜-3或x＞1}，
即m+1≤-3或m-1≥1，
解得m≤-4或m≥2．

点评：本题主要考查复合函数的真假关系，以及充分条件和必要条件的应用，利用不等式的解法求出命题的等价条件是解决本题的关键．