Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N^*），令b_n=

an

2n

．
（1）求证：数列{b_n}为等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N^*），可得n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2^n-1（n∈N^*），两式相减，结合b_n=

an

2n

，即可证明数列{b_n}为等差数列；
（2）确定a_n=（n+1）•2^n-1，再利用错位相减法，可求数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： （1）证明：因为S_n=2a_n-2ⁿ（n∈N^*），所以n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2^n-1（n∈N^*），
所以a_n=2a_n-2ⁿ-（2a_n-1-2^n-1），
即a_n=2a_n-1-2^n-1．
由a₁=2a₁-2得a₁=2．
由b_n=

an

2n

得b₁=1．
当n≥2时，b_n-b_n-1=

1

2

，
所以{b_n}是首项为1，公差为

1

2

的等差数列．
（2）解：由（1）知，b_n=

n+1

2

，即

an

2n

=

n+1

2

，
所以{a_n}的通项公式为a_n=（n+1）•2^n-1．
所以S_n=2•2⁰+3•2¹+…+（n+1）•2^n-1，①
∴2S_n=2•2¹+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ，②
由①-②得-S_n=2•2⁰⁺2¹+2²+…+2^n-1-（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=n•2ⁿ．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．