Question

13．已知f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx+cos²x，锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）若f（C）=1，求m=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}{ab}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）将f（x）化简，结合三角函数的性质求解即可．
（Ⅱ）利用f（C）=1，求解角C，由余弦定理建立等式关系，利用三角函数的有界限求解范围．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\sqrt{3}sinx•cosx+{cos^2}x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x+\frac{1}{2}=sin（2x+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}$．
∴函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$是单调递增，
解得：$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}$．
∴函数f（x）的单调递增区间$[{kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}}]，k∈Z$，最小正周期为π．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（C）=sin（2C+$\frac{π}{6}$）=1
∴$f（C）=sin（2C+\frac{π}{6}）+\frac{1}{2}=1$．
∴$sin（2C+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$
∴$2C+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{6}$或$2C+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{5π}{6}$k∈Z，
∵△ABC是锐角三角形，
∴$C=\frac{π}{3}$．
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得c²=a²+b²-ab
∴$m=\frac{{{a^2}+{b^2}+{c^2}}}{ab}=\frac{{2（{a^2}+{b^2}）}}{ab}-1=2（\frac{b}{a}+\frac{a}{b}）-1$…①．
∵△ABC为锐角三角形
∴$\left\{\begin{array}{l}0＜A＜\frac{π}{2}\\ 0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}\end{array}\right.$∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$．
由正弦定理得：$\frac{b}{a}=\frac{sinB}{sinA}=\frac{{sin（\frac{2}{3}π-A）}}{sinA}=\frac{{\sqrt{3}}}{2tanA}+\frac{1}{2}∈（{\frac{1}{2}，2}）$…②．
由②式设t=$\frac{b}{a}$，则$t∈（\frac{1}{2}，2）$，
那么①式化简为m=$2（t+\frac{1}{t}）-1$．
由y=$t+\frac{1}{t}≥2，（t=1）$时取等号．
∴m≥3．
根据勾勾函数的性质可得：（$\frac{1}{2}$，1）是单调递减，（1，2）是单调递增，
∴m＜4
故得$m=\frac{{{a^2}+{b^2}+{c^2}}}{ab}∈[{3，4}）$．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，正余弦定理的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．