Question

1．已知函数$f（x）=x{e^x}-a（\frac{x^2}{2}+x）（a∈R）$．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间和极值即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，$f（x）=x{e^x}-（\frac{x^2}{2}+x）$…1分
f'（x）=e^x+xe^x-（x+1）=e^x（x+1）-（x+1）=（x+1）（e^x-1）…2分
令f'（x）=0得x=-1，或x=0．

x	（-∞，-1）	-1	（-1，0）	0	（0，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗		↘		↗

∴x=-1时，f（x）有极大值$f（-1）=\frac{1}{2}-\frac{1}{e}$…3分
x=0时，f（x）有极小值f（0）=0…4分
（Ⅱ）f'（x）=e^x+xe^x-a（x+1）=e^x（x+1）-a（x+1）=（x+1）（e^x-a）
（1）当a≤0时，e^x-a＞0，
由f'（x）＞0得x＞-1，即在（-1，+∞）上，函数f（x）单调递增，
由f'（x）＜0得x＜-1，即在（-∞，-1）上，函数f（x）单调递减；…6分
（2）当a＞0时，令f'（x）=0得x=-1，或x=lna．
①当lna=-1即a=e^-1时，无论x＞-1或x＜-1均有f'（x）＞0，又f'（-1）=0
即在R上，f'（x）≥0，从而函数f（x）在R上单调递增；…8分
②当lna＜-1即0＜a＜e^-1时，
由f'（x）=（x+1）（e^x-a）＞0⇒x＞-1或x＜lna时，函数f（x）单调递增；
由f'（x）=（x+1）（e^x-a）＜0⇒lna＜x＜-1时，函数f（x）单调递减；…10分
③当lna＞-1即a＞e^-1时，
由f'（x）=（x+1）（e^x-a）＞0⇒x＞lna或x＜-1时，函数f（x）单调递增；
由f'（x）=（x+1）（e^x-a）＜0⇒-1＜x＜lna时，函数f（x）单调递减；…12分

点评 考查导数的应用，考查分类讨论思想和运算能力，是一道难题．