Question

11．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC₁上的动点，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S．则下列命题正确的是①②④（写出所有正确命题的编号）．
①当0＜CQ$＜\frac{1}{2}$时，S为四边形
②当CQ=$\frac{1}{2}$时，S为等腰梯形
③当CQ=$\frac{3}{4}$时，S与C₁D₁的交点R满足C₁R=$\frac{2}{3}$
④当CQ=1时，S的面积为$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 如图所示，②当CQ=$\frac{1}{2}$时，即Q为CC₁中点，此时可得PQ∥AD₁，AP=QD₁，即可判断出真假．
①由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$，只需在DD₁上取点M满足AM∥PQ，即可判断出真假．
③当CQ=$\frac{3}{4}$时，如图，延长DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，连接AN交A₁D₁于S，连接NQ交C₁D₁于R，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，可得C₁R，即可判断出真假；
④当CQ=1时，Q与C₁重合，取A₁D₁的中点F，连接AF，可证PC₁∥AF，且PC₁=AF，可知截面为APC₁F为菱形，可得其面积．

解答 解：如图所示，
②当CQ=$\frac{1}{2}$时，即Q为CC₁中点，此时可得PQ∥AD₁，AP=QD₁=$\sqrt{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故可得截面APQD₁为等腰梯形，故②正确；
①由上图当点Q向C移动时，满足0＜CQ＜$\frac{1}{2}$，只需在DD₁上取点M满足AM∥PQ，
即可得截面为四边形APQM，故①正确；
③当CQ=$\frac{3}{4}$时，如图，
延长DD₁至N，使D₁N=$\frac{1}{2}$，连接AN交A₁D₁于S，连接NQ交C₁D₁于R，连接SR，
可证AN∥PQ，由△NRD₁∽△QRC₁，可得C₁R：D₁R=C₁Q：D₁N=1：2，故可得C₁R=$\frac{1}{3}$，故③不正确；
④当CQ=1时，Q与C₁重合，取A₁D₁的中点F，连接AF，可证PC₁∥AF，且PC₁=AF，
可知截面为APC₁F为菱形，故其面积为$\frac{1}{2}$AC₁•PF=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，故④正确．
综上可得：只有①②④正确．
故答案为：①②④．

点评 本题考查了正方体的性质、线面面面平行的判定与性质定理、平行线分线段成比例定理、相似三角形的性质、菱形面积计算公式，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．