Question

6．已知函数f（x）=x²-2ax+2（a∈R）．
（1）若a=1时，求函数f（x）在x∈[-1，2]上的最大值；
（2）当x∈[-1，+∞）时，f（x）≥a恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的对称轴，与区间的端点比较，可得f（-1）取得最大值；
（2）求出二次函数的对称轴，讨论当a≤-1时，当a＞-1时，运用单调性，可得最小值，由题意可得f（x）_min≥a，即可得到所求a的范围．

解答 解：（1）若a=1，则f（x）=x²-2x+2，
对称轴为x=1，x∈[-1，2]，
由1与-1的距离比1与2的距离大，
则当x=-1时，函数f（x）的最大值为5；
（2）函数f（x）=x²-2ax+2（a∈R），
对称轴为x=a，x∈[-1，+∞），
当a≤-1时，f（x）在[-1，+∞）递增，
可得f（x）的最小值为f（-1）=3+2a；
由3+2a≥a，解得a≥-3，
则-3≤a≤-1；
当a＞-1时，f（x）的最小值为f（a）=2-a²，
2-a²≥a，解得-2≤a≤1，
即为-1＜a≤1，
综上可得-3≤a≤1．

点评 本题考查二次函数在闭区间上的最值解法，注意对称轴和区间的关系，同时考查不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论思想方法，以及函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．