Question

18．设椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（0＜b＜2）的右焦点为F，右顶点为A，已知$\frac{|FA|}{|OF|}$+$\frac{|FA|}{|OA|}$=3e，其中O为原点，e为椭圆的离心率．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点A的直线l与椭圆交于点B（B不在x轴上），若点H（0，$\frac{4}{3}$），以BH为直径的圆过F点，求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）根据题意，可得$\frac{a-c}{c}$+$\frac{a-c}{a}$=3×$\frac{c}{a}$，变形可得a²=4c²，结合椭圆的标准方程可得a²=4以及c²=1，进而计算可得b²的值，将其代入椭圆的标准方程，计算可得答案；
（2）根据题意，设出直线l的斜率以及方程，联立直线与椭圆的方程，解可得B的坐标，结合F、H的坐标可得向量$\overrightarrow{HF}$与$\overrightarrow{BF}$的坐标，分析可得BH为直径的圆过点F，得$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{HF}$=0，进而有1×$\frac{9-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$-（$\frac{4}{3}$）×$\frac{12k}{4{k}^{2}+3}$）=0，解可得k的值，即得答案．

解答 解：（1）根据题意，$\frac{|FA|}{|OF|}$+$\frac{|FA|}{|OA|}$=3e，有$\frac{a-c}{c}$+$\frac{a-c}{a}$=3×$\frac{c}{a}$，变形可得a²-c²=3c²，即a²=4c²，
又由a²=4，则c²=1，
b²=a²-c²=3，
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设直线l的斜率为k，（k≠0），则直线l的方程为y=k（x-2）；
设B（x_B，y_B），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，消去y整理可得（4k²+3）x²-16k²x+16k²-12=0，
解可得x=2或x=$\frac{8{k}^{2}-6}{4{k}^{2}+3}$，
由题意可得x_B=$\frac{8{k}^{2}-6}{4{k}^{2}+3}$，y_B=$\frac{-12k}{4{k}^{2}+3}$，
由（1）可得：F（1，0），又由H（0，$\frac{4}{3}$），
则有$\overrightarrow{HF}$=（1，-$\frac{4}{3}$），$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{9-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$，$\frac{12k}{4{k}^{2}+3}$），
以BH为直径的圆过点F，得$\overrightarrow{BF}$•$\overrightarrow{HF}$=0，
即1×$\frac{9-4{k}^{2}}{4{k}^{2}+3}$-（$\frac{4}{3}$）×$\frac{12k}{4{k}^{2}+3}$）=0，
解可得k=-$\frac{9}{2}$或k=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆与直线的位置关系，涉及椭圆的简单几何性质以及标准方程的应用，关键是依据题意，求出椭圆的方程．