Question

10．若函数$f（x）={x^2}+ax+\frac{1}{x}$在$（{\frac{1}{2}\;\;，\;\;1}）$内任取两个实数p，q，且p≠q，不等式$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}＞0$恒成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [-1，0]
• B． [-1，+∞）
• C． [0，3]
• D． [3，+∞）

Answer 1

分析 根据p≠q，不等式$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}＞0$恒成立，只需该函数在（$\frac{1}{2}$，1）内的导数大于0恒成立．

解答 解：由题意，要使不等式$\frac{f（p）-f（q）}{p-q}＞0$恒成立，
只需f′（x）＞0在（$\frac{1}{2}$，1）上恒成立．
因为f′（x）=2x+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$，所以2x+a-$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0在（$\frac{1}{2}$，1）上恒成立，
即a＞$\frac{1}{{x}^{2}}$-2x，x∈（$\frac{1}{2}$，1）恒成立，
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-2x，x∈（$\frac{1}{2}$，1），g′（x）=-$\frac{2}{{x}^{3}}$-2＜0，
g（x）在（$\frac{1}{2}$，1）递减，g（x）＜g（$\frac{1}{2}$）=3
只需a≥3，
故选：D．

点评 本题考查了导数的几何意义以及不等式恒成立问题的基本思路．属于中档题．