Question

19．已知点F为椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$与椭圆E有且仅有一个交点M．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设直线$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$与y轴交于P，过点P的直线与椭圆E交于两不同点A，B，若λ|PM|²=|PA|•|PB|，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可得a，b与c的关系，化椭圆方程为$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，联立直线方程与椭圆方程，由判别式为0求得c，则椭圆方程可求；
（Ⅱ）由（Ⅰ）求得M坐标，得到|PM|²，当直线l与x轴垂直时，直接由λ|PM|²=|PA|•|PB|求得λ值；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+2，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式大于0求得k的取值范围，再由根与系数的关系，结合λ|PM|²=|PA|•|PB|，把λ用含有k的表达式表示，则实数λ的取值范围可求．

解答 解：（Ⅰ）由题意，得$a=2c，b=\sqrt{3}c$，则椭圆E为：$\frac{x^2}{{4{c^2}}}+\frac{y^2}{{3{c^2}}}=1$，
联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}={c^2}\\ \frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1\end{array}\right.$，得x²-2x+4-3c²=0，
∵直线$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$与椭圆E有且仅有一个交点M，
∴△=4-4（4-3c²）=0，得c²=1，
∴椭圆E的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$M（{1，\frac{3}{2}}）$，
∵直线$\frac{x}{4}+\frac{y}{2}=1$与y轴交于P（0，2），∴${|{PM}|^2}=\frac{5}{4}$，
当直线l与x轴垂直时，$|{PA}|•|{PB}|=（{2+\sqrt{3}}）（{2-\sqrt{3}}）=1$，
由λ|PM|²=|PA|•|PB|，得$λ=\frac{4}{5}$，
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}-12=0}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+16kx+4=0，
依题意得，${x_1}{x_2}=\frac{4}{{3+4{k^2}}}$，且△=48（4k²-1）＞0，
∴$|{PA}||{PB}|=（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}=（{1+{k^2}}）•\frac{4}{{3+4{k^2}}}=1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}=\frac{5}{4}λ$，
∴$λ=\frac{4}{5}（{1+\frac{1}{{3+4{k^2}}}}）$，
∵${k^2}＞\frac{1}{4}$，∴$\frac{4}{5}＜λ＜1$，
综上所述，λ的取值范围是$[{\frac{4}{5}，1}）$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“分类讨论”的数学思想方法，属中档题．