Question

11．已知函数f（x）=x-alnx，当x＞1时，f（x）＞0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，+∞）
• B． （-∞，1）
• C． （e，+∞）
• D． （-∞，e）

Answer 1

分析 由f（x）＞0对x∈（1，+∞）上恒成立可分a≤1和a＞1来讨论转化为函数的最小值大于等于0的问题来求解．

解答 解：f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$，
当a≤1时，f'（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，
则f（x）是单调递增的，
则f（x）＞f（1）=1恒成立，则a≤2，
当a＞1时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：1＜x＜a，
故f（x）在（1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
所以只需f（x）_min=f（a）=a-alna＞0，解得：a＜e，
综上：a＜e，
故选：D．

点评 本题考查函数的导数以及利用导数求函数的单调区间和极值问题；考查了利用函数的导数讨论含参数不等式的恒成立问题，求参数的取值范围，主要转化为函数的最值问题利用导数这一工具来求解．