Question

3．已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式：f（x）≥4-|x-3|；
（Ⅱ）若f（x）≤1的解集为[0，2]，$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=a$（m＞0，n＞0），求mn的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过讨论x的范围，解各个区间上的x的范围，取并集即可；
（Ⅱ）求出a-1≤x≤a+1，根据f（x）≤1的解集为[0，2]，求出a的值，根据基本不等式的性质求出mn的最小值即可．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，不等式为|x-1|≥4-|x-3|，
即|x-1|+|x-3|≥4，
∵|x-1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{2x-4，x≥3}\\{2，1≤x＜3}\\{4-2x，x＜1}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≥3}\\{2x-4≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤x＜3}\\{2≥4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜1}\\{4-2x≥4}\end{array}\right.$，
∴解得x≤0，或x≥4，
故原不等式的解集为{x|x≤0，或x≥4}．…5分
（Ⅱ）f（x）≤1?|x-a|≤1
?-1≤x-a≤1?a-1≤x≤a+1，
∵f（x）≤1的解集为[0，2]，
∴$\left\{\begin{array}{l}a-1=0\\ a+1=2\end{array}\right.⇒a=1$，…7分
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{2n}=1≥2\sqrt{\frac{1}{2mn}}（{m＞0\;\;，\;\;n＞0}）$，
∴mn≥2（当且仅当$\frac{1}{m}=\frac{1}{2n}=\frac{1}{2}$即m=2，n=1时取等号），
∴mn的最小值为2．…10分．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及基本不等式的性质，是一道中档题．