Question

10．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右焦点分别为F₁，F₂，离心率为$\frac{1}{2}$，在x轴上有一点M（-3，0）满足$\overrightarrow{M{F_2}}=2\overrightarrow{M{F_1}}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l与直线x=2交于点A，与直线x=-2交于点B，且$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$，判断并证明直线l与椭圆C的交点个数．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的焦距为2c，由题意列a，c的方程组，求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程为：y=kx+m，可得A（2，2k+m），B（-2，m-2k），由$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$，得（1，2k+m）•（-3，m-2k）=0，即m²=4k²+3．联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式等于0得答案．

解答 解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意有：$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{c+3=2（-c+3）}\end{array}\right.$，解得a=2，c=1．
∴b²=a²-c²=3．
则椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+m．
则A（2，2k+m），B（-2，m-2k），
由$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}=0$，得（1，2k+m）•（-3，m-2k）=0，
即m²=4k²+3．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∵△=64k²m²-4（3+4k²）（4m²-12）=4（48k²-12m²+36）=0．
∴直线l与椭圆C的交点个数是1．

点评 本题考查椭圆的简单性质，可直线与椭圆位置关系的应用，训练了向量垂直与数量积间关系的应用，是中档题．