Question

20．已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各个棱长都相等，E为BC的中点，动点F在CC₁上，且不与点C重合
（1）当CC₁=4CF时，求证：EF⊥A₁C
（2）设二面角C-AF-E的大小为α，求tanα的最小值．

Answer 1

分析 （1）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC₁，则EN⊥侧面A₁C，NF为EF在侧面A₁C内的射影，设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各个棱长为4，则CN=1，NF∥AC₁，推导出C₁⊥A₁C，NF⊥A₁C，由此能证明EF⊥A₁C．
（2）连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME，则EN⊥侧面A₁C，根据三垂线定理得EM⊥AF，∠EMN是二面角C-AF-E的平面角由此能示出tanα的最小值．

解答 证明：（1）过E作EN⊥AC于N，连接EF，NF，AC₁，
由直棱柱的性质可知，底面ABC⊥侧面A₁C，
∴EN⊥侧面A₁C，NF为EF在侧面A₁C内的射影，
设正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各个棱长为4，
∵CC₁=4CF，∴在直角三角形CNF中，CN=1，
则由$\frac{CF}{C{C}_{1}}$=$\frac{CN}{CA}$=$\frac{1}{4}$，得NF∥AC₁，
又AC₁⊥A₁C，故NF⊥A₁C，
由三垂线定理可知EF⊥A₁C．
解：（2）连接AF，过N作NM⊥AF于M，连接ME
由（I）可知EN⊥侧面A₁C，根据三垂线定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=α，
设∠FAC=θ，则0°＜θ≤45°，
在直角三角形CNE中，NE=$\sqrt{3}$，
在直角三角形AMN中，MN=3sinθ
故tanα=$\frac{\sqrt{3}}{3sinθ}$，又0°＜θ≤45°，∴0＜sinθ≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$
故当θ=45°时，tanα达到最小值，
∴tanα的最小值为anα=$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查二面角的正切值的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．