Question

12．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，sinC-sinA（cosB+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinB$）=0
（1）求A；
（2）若$a=4\sqrt{3}$，求b+c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可求tanA=$\sqrt{3}$，结合范围A∈（0，π），可得A的值．
（2）由正弦定理，两角和与差的正弦函数公式可求b+c=8$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），结合范围B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），利用正弦函数的性质可求b+c=8$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）的范围．

解答 解：（1）∵sinC-sinA（cosB+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinB$）=0，
∴sinC=sinA（cosB+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinB$），可得：sinAcosB+cosAsinB=sinAcosB+$\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinB$sinA，
∴cosAsinB=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}sinB$sinA，
∵B为三角形内角，sinB≠0，
∴可得：tanA=$\sqrt{3}$，由于A∈（0，π），可得：A=$\frac{π}{3}$．
（2）∵A=$\frac{π}{3}$，$a=4\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：$\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=\frac{a}{sinA}=\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8，可得：b=8sinB，c=8sinC=8sin（$\frac{2π}{3}$-B），
∴b+c=8sinB+8sin（$\frac{2π}{3}$-B）=8sinB+4$\sqrt{3}$cosB+4sinB=8$\sqrt{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinB+$\frac{1}{2}$cosB）=8$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$），
∵B∈（0，$\frac{2π}{3}$），可得：B+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），可得：sin（B+$\frac{π}{6}$）∈（$\frac{1}{2}$，1]，
∴b+c=8$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）∈$（4\sqrt{3}，8\sqrt{3}]$．

点评 本题主要考查了三角形内角和定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．