Question

7．给出下列四个命题，则真命题的个数是（　　）
①函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点
②若f′（x₀）=0，则y=f（x）在x=x₀处取得极值；
③已知p：?x∈R，使cosx=1，q：?x∈R，则x²-x+1＞0，则“p∧（￢q）”为假命题
④在△ABC中，A＜B是sinA＜sinB的充分不必要条件．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 直接求出f（1）与f（e）的值，结合零点存在定理判断①；举例说明②错误；首先判断命题p、q的真假，再由复合命题的真假判断判断③；由充分必要条件的判定方法判断④．

解答 解：①∵f（1）=ln1-2+1=-1＜0，f（e）=lne-2+e=e-1＞0，
∴函数f（x）=lnx-2+x在区间（1，e）上存在零点，故①正确；
②若f′（x₀）=0，则y=f（x）在x=x₀处取得极值错误，如f（x）=x²，f′（0）=0，但函数在x=0处无极值；
③命题p：?x∈R，使cosx=1为真命题，命题q：?x∈R，则x²-x+1=$（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$＞0为真命题，则￢q为假命题，
∴“p∧（￢q）”为假命题，故③正确；
④在△ABC中，由A＜B?a＜b?sinA＜sinB，∴A＜B是sinA＜sinB的充分必要条件，故④错误．
∴真命题的个数是2个，
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查了函数零点存在性定理的应用，考查复合命题的真假判断，考查充分必要条件的判定方法，属中档题．